« 13 »  09  20 15 г.




Задачи международных математических олимпиад

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте.

Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием — степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут.

После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на , то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд. Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел. Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев.

Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: Две дюжины и 19 в квадрате.

46-я Международная математическая олимпиада

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете расчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.

Пусть заданы треугольник ABC и прямая m, пересекающая стороны AB и AC внутренним образом соответственно в точках D и F, и продолжение BC в точке E точка C находится между точками B и E. Прямые, параллельные прямой m и проходящие через точки A, B и C, пересекают заново описанную окружность треугольника ABC соответственно в точках A 1 , B 1 и C 1.

Задачи международной математической олимпиады

Докажите, что прямые A 1 E, B 1 F и C 1 D пересекаются в одной точке. Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках D и E соответственно.

Пусть биссектрисы углов ACB и ABC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно, и Z — середина стороны BC. Найдите максимально возможное количество элементов такого множества S. Пусть точка O лежит внутри остроугольного треугольника ABC. Окружности, с центрами в серединах сторон треугольника, проходят через точку O и пересекаются второй раз в точках K, L и M, отличных от O.

Докажите, что O является центром вписанной окружности треугольника KLM тогда и только тогда, когда O есть центр описанной окружности треугольника ABC. Математические олимпиады А знаете ли вы, что? Задачи международной математической олимпиады: Международные олимпиады по математике: Задания олимпиад по математике для учащихся классов с решением и ответами: Главная 1 класс 2 класс 3 класс 4 класс 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс.




Константин Черноног

Решения 65 Решения задач международных олимпиад — Решения задач из материалов жюри Решения задач, предлагавшихся на национальных олимпиадах Дополнение. Результаты первого тура CTFzone.